Khi nào chúng ta mới có những đề toán như thế?

Động lực để tôi viết bài này là tôi quá thích bài toán sau đây.

Bản chất toán học chỉ là một bài toán chuyển động trên vòng tròn. Nhưng cách đặt vấn đề quá thú vị. Lại còn lồng được cả xác suất vào. Xin tóm tắt lại như sau:

Robert và Rachel cùng chạy vòng quanh một đường đua hình tròn. Rachel chạy ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc 90 giây/vòng và Robert chạy theo chiều kim đồng hồ với vận tốc 80 giây/vòng. Trong một thời khắc ngẫu nhiên nằm giữa phút thứ 10 và 11, một phóng viên chụp ảnh với ống kính bao quát được 1/4 vòng đua, với điểm giữa của cung tại vạch xuất phát. Tính xác suất tấm ảnh phóng viên chụp có cả Robert và Rachel.

Quá hay. Để làm được bài toán, cần đọc và hiểu được đề bài, xác định là phải tìm cái gì, từ đó lên kế hoạch giải quyết bài toán. Và vấn đề rất thực tế. Và cách đặt vấn đề làm cho một bài toán có thể coi là cũ thành một bài toán mới.

Thực ra không phải đến bài toán này tôi mới biết là ở các nước, người ta vẫn tập trung rất nhiều vào các vấn đề thực tế, bên cạnh các kỹ năng, thao tác mang tính kỹ thuật như giải phương trình, nhân đa thức, tính đạo hàm người ta giải thích rõ ý nghĩa của các công việc đó, đưa ra các tình huống thực tế, đưa ra các bài toán mà trong lời giải cần biết chọn mô hình, tìm kiếm dữ liệu, đưa ra các giả định.

Ví dụ một bài toán rất đơn giản sau.

Thao tác toán học chỉ là 1 phép chia. Nhưng nếu ta bắt học sinh chia 1000 cho 5, cho 7, cho 9 thì đó là một hoạt động chán ngắt (dù vẫn cần thiết). Nhưng ở bài toán này, học sinh đòi hỏi phải hiểu rằng để giải bài toán, ta phải có giả định về độ dài của 1 bước chân.

Nhiều bài toán, người ta đưa sẵn mô hình vào cho học sinh, đưa các số liệu vào luôn. Như vậy, vừa dạy được những kiến thức mới một cách nhẹ nhàng (gia tốc trọng trường, chiều cao của tháp Eiffel), vừa yêu cầu học sinh thực hiện các thao tác toán học cần thiết. Nhưng không khiên cưỡng. Học sinh tiếp thu một cách hào hứng vì chúng thấy thú vị. Và có thể chúng sẽ có nhu cầu kiểm tra thực tiễn (vì thế các số liệu thường được lấy chính xác tương đối).

Và cách hỏi, cách tiếp cận của họ cũng rất nhẹ nhàng, đi từ thực nghiệm trước (để hiểu vấn đề), lý thuyết theo sau.

Có lần một cậu học sinh trường quốc tế, mới học lớp 10, hỏi tôi một bài toán như sau.

"Có một nhà địa chất đang ở địa điểm A trên sa mạc. Ông cần về B cách A 70 dặm. Xe của ông có thể đi trên sa mạc với vận tốc 30 đặm/giờ. Song song với đoạn đường chim bay từ A về B có 1 con đường nhựa, nhưng cách đoạn đường AB 10 dặm. Trên đường này xe có thể đi với vận tốc 50 dặm/giờ.

    a) Nếu đi thẳng từ A đến B nhà địa chất mất bao lâu?

    b) Có thể đi nhanh hơn không?

    c) Có thể đi dưới 2 giờ không?

    d) Có thể đi nhanh nhất bằng bao nhiêu?"

Tôi hướng dẫn cậu ta làm câu a), b), c) và nói rằng với câu d) thì chắc con chưa làm được đâu.

Nhưng một lúc sau thì cậu ấy cho đáp số. Tôi kiểm tra lại, thấy đúng. Tôi cũng rất ngạc nhiên vì cậu ta mới chỉ học hàm số chứ chưa biết đạo hàm.

"Em làm thế nào mà ra như vậy".

"Dạ, em cho đoạn này là x, tính thời gian theo x và tìm x sao cho thời gian nhỏ nhất".

"Nhưng làm sao em tìm x để t nhỏ nhất?".

"Em cho x chạy và vẽ đồ thị, nhìn trên đồ thị thì thấy ạ".

Học sinh hiểu bài một cách tự nhiên, và sau này, khi học kỹ về đạo hàm, sẽ có thể tính chính xác, nhưng chỉ để khẳng định lại một điều đã biết, đã hiểu.

Tôi mơ ước học sinh của mình được học những bài toán như vậy.

Tôi mơ ước được dạy toán như vậy.

Còn bây giờ, học sinh của tôi vẫn phải làm những bài toán như thế này.

Và tôi cũng vẫn phải ra những đề như thế.

• Thầy giáo Trần Nam Dũng (TP.HCM)